Теориялық материалды пысықтауға арналған есептер

1 тарауды пысықтауға арналған есептер

1.1. Ортогональ декарт координата жүйесінде анықтаңыз: 

а)  векторына паралелль бірлік векторды;

б) Р(1,0,3) және Q(0,2,1) нүктелерін қосатын түзудің бірлік векторын.

1.2.  векторы  теңдеуімен берілген жазықтыққа перпендикуляр екенін дәлелдеңіз.

1.3. Айталық,  – координата басынан кез келген P(x,y,z) нүктесіне жүретін вектор, ал  – бірқатар тұрақты вектор.  теңдеуі сфераның теңдеуі екенін көрсетіңіз:

1.4. Дәлелдеңіз:

.

1.5. Егер  векторлары сызықтық тәуелсіз болса, онда  екенін дәлелдеңіз. Келесі үш вектордың сызықтық тәуелсіздігін (немесе тәуелділігін) тексеріңіз:

1.6. N диадтың қосындысы түрінде берілген, екінші рангілі кез келген тензорды, үш мүшенің қосындысына келтіруге болатынын, егер  базистық векторларын:

а) бірінші көбейткіштер ретінде алса;

б) екінші көбейткіштер ретінде алса?

1.7. Кез келген диадигі және  векторы  үшін   теңдігі орындалатынын дәлелдеңіз.

1.8.  екенін дәлелдеңіз.

1.9.  екенін дәлелдеңіз.

1.10. Айталық, , ал  вектор.  теңдеуі  эллипсойд болатынын көрсетіңіз.

1.11.  және  үшін  және  екі рет скаляр көбейтіндіні есептеңіз әрі салыстырыңыз.

1.12.  және   диадиктерін анықтаңыз, егер  және  1-есептегі тензорлар болса.

1.13. Екінші рангіні  тензорының тоғыз мүшелі түрде жазылуынан,  түрінде жазуға болатынын, сонымен қатар  т.с.с. болатынын көрсетіңіз.

1.14. Антисиметтриялық екінші рангілі  тензоры және кез келген  векторы үшін  теңдігі орындалатынын дәлелдеңіз.

1.15. Айталық  және  болсын. Тікелей көбейту арқылы  болатынын көрсет.

1.16. диадигін векторлық сызықтық оператор деп қарастырып, – ның  векторына әсер етуден пайда болатын  векторын тап (сурет 1.7).

1.1-сурет.

1.17.  мұндағы  ал  – бірқатар тұрақты вектор.  вектор функциясының векторлық сызықтық операторы болатын  диадигін анықта.

1.18.  бірлік векторларын  арқылы өрнектеңіз және бұл триэдр оң жүйе болатынын, яғни  дәлелдеңіз.

1.19. тензорын симметриялы және антисимметриялы бөліктерге бөліңіз.

1.20. Егер болса, онда  векторлары  базистік векторлары үшін өзара базис құрайды(бірлік болу міндет емес). өзара базис құру үшін қажетті қатынасты табу керек және бұл есептеуді келесі базистік векторлар үшін орында.

1.21. Үш өлшемді кеңістікте келесі тензорлық символдарды ашып жазыңыз (декарт тензорлары):

1.22. Үш өлшемді кеңістікте  дельта Кронекері бар келесі өрнектерді есептеңіз:

а) ; b) ; c) ; d) ; e)

1.23.  Леви-Чивита тензоры үшін индекстері бойынша тікелей ашу арқылы келесілерді көрсетіңіз: 

a)

b)

1.24. Төменде берілген векторлардың  компонентасын анықта:

а) ;

б);

в)

1.25. өрнегін ашып жазып, келесі шарттар орындалғанда қысқартыңыз:

а)  б)

1.26.  екенін көрсет: а) i=1, j=q=2, p=3 және б) i=q=1, j=p=2 (1.59 есепте бұл теңдіктің кез келген индексте ақиқат болатынын дәлелде)

1.27.  тензорының антисимметриялығын дәлелде.

1.28. Айталық,  антисимметриялық декарттық тензоры және  векторы берілсін.  тең екенін дәлелдеңіз.

1.29. 2.5-суретте көрсетілген сфералық координата жүйесіндегі метрикалық тензордың компоненталарын тікелей есептеу арқылы анықтаңыз.

1.2 – сурет.

1.30. ds сызықтық сәйкес қисық сызықты  координатадағы өсуі – ге тең болатынын көрсет (қосындылаңыз). 2.12-есептің сфералық координаталар жүйесінде алынған нәтижені қолданыңыз.

1.31. Айталық,  сызықтық элементімен  элементінің арасындағы бұрыш болсын. Онда  болатынын көрсетіңіз.

1.32.  декарттық жүйенің осьтері  осінің бойында  жүйесін  бұрышқа бұру арқылы алынған,  түрлендіру коэффиценттерін және  векторының компоненттері штрихты жүйеде анықтаңыз.

1.33. Төмендегі таблицада екі ортогональ декарт координаталар жүйесінің бағыттаушы косинустары жартылай берілген. Кестенің төменгі жолын  жүйесі оң болатындай етіп анықтаңыз.

1.34. Айталық, штирхт және штрихсыз координаталар жүйесінің бағыттары арасындағы бұрыш кестеде берілген. 

 түрлендіру коэффиценттерін анықтаңыз. Және ортогональдық шарты орындалатынын көрсетіңіз.

1.35. Егер  және  екінші рангілі тензор болса, онда  қосындысы екінші рангілі тензор компонентасы болатынын дәлелдеңіз.

1.36.  екенін көрсет.

1.37. Айталық, – антисимметриялы және – симметриялы тензорлар болсын.  екенін дәлелдеңіз.

1.38. Егер  тензорының орнына, оның  симметриялық бөлігін алсақ,  квадраттық формуласының өзгермейтінін дәлелдеңіз.

1.39. Индекстік белгілеулерді пайдаланып келесі векторлық теңдеулерді дәлелдеңіз:

1) ;

2) .

1.40.  анықтауышын – түрінде жазуға болатынын көрсетіңіз.

1.41.  векторы  базисінде өзінің   компоненттерімен берілген. болатынын көрсетіңіз.

1.42.  векторлары және  диадигі үшін матрицаны көбейту әдісі бойынша  есептейміз.

1.43. Келесі

матрица түрінде берілген екінші ретті декарт тензорының бас бағыттарын және бас мәндерін табыңыз.

1.44. 1.42. есепте анықталған, тензордың бас осьтері оң ортогональ осьтер жүйесін құрайтынын көрсет.

1.45. 1.42. есепті  тензор матрицасы  (немесе  матрицалық түрде) түрлендіруі арқылы диагональдық түрге келтірілетінін көрсет.

1.46. Егер екінші рангілі симметриялы тензордың барлық үш  бас мәндері әр түрлі болса, онда бас бағыттары өзара ортогональ болатынын дәлелдеңіз.

1.47. 1.42 есептегі  тензорының бас мәндерін есептеңіз және оның бас бағыттары T тензорының бас бағыттарымен сәйкес келетінің дәлелдеңіз.

1.48. T² және симметриялы T тензорларының бас бағыттарының бірдей болатындығын пайдаланып,

 тензорын табыңыз.

1.49.  функциясы (мұндағы - тұрақты) үшін   және  екенін көрсет.  болса, бұл туындыларды ықшамда.

1.50. Индекстік белгілеулерді пайдаланып, келесі векторлық теңдіктерді дәлелдеңіз:

а)

1.51.  функциясының  немесе  бірлік векторы бағытындағы туындысын табыңыз.

.

1.52. Айталық, – екінші рангілі декарт тензоры болсын. Оның туындысы, яғни – үшінші рангілі декарт тензоры болатынын көрсетіңіз.

1.53. Айталық  және  –дің кез келген функциясы болсын. Онда келесі теңдеудің орындалуын көрсет:

а) 

б)  штирхпен  бойынша дифферанциалданған болсын.

1.54. Гаусс-Остраградский теоремасын пайдаланып  екенін көрсет. Мұнда  көлемі шектеп жатқан S бетінің элементі,  элементінің радиус векторы және – осы элементтің ішкі нормалы (суреттен қара).

1.55. Айталық  векторы және координаталардың  скалярлық формуласы берілсін.  тең екенін дәлелде.

1.56.  және  кез келген векторлары үшін  екенін дәлелде.

1.57. Айталық  және  болсын. Онда  екенін дәлелде.

1.58.  болатынын дәлелде.

1.59. 1.57. есептің нәтижесін пайдаланып келесіні дәлелдеңіз: а)

б)

1.60. Екінші рангілі  тензоры кососимметриялы, яғни . Онда  екенін дәлелдеңіз.

1.61.  Гамильтон-Кэли теңсіздігін пайдаланып,  тензорын анықтаңыз. Нәтижені  тензорын тікелей квадраттау арқылы тексеріңіз.

1.62. а)  б)  в) – (1.103) координаталарды түрлендіруге қатысты инвариант блатындығын, яғни  т.с.с. көрсет.

1.63. Кез  келген тензорының бивекторы тек –дан тәуелді екенін, бірақ  тензорының  симметриялы тензорға көбейтіндісі –дан тәуелсіз екенін дәлелде.

1.64. Егер  екінші рангілі симметриялық тензор болса, онда  екенін дәлелде.

1.65. Индекстік белгілеуді пайдаланып келесі векторлық теңдікті дәлелде:

1.66. Гаусс-Остраградский теоремасының көмегімен  болатынын көрсет. Мұндағы бетінің ішінде бекітілген көлем, - ішкі нормаль, көлемінің кез келген нүктесінің радиус-векторы,  - тұрақты вектор.

1.67. Суреттегі координата осьтерін түрлендіру ортогональ болатынын дәлелде.

1.68.  екенін дәлелде.